Tugas 7 Galuh panca Boolean dan karnaugh map
Boolean dan karnaugh map
Pada rangkaian yang cukup rumit, kombinasi variable di logic function yang diperoleh dari hasil table kebenaran biasanya pun cukup banyak. Oleh karena itu, logic function tersebut perlu disederhanakan dengan beberapa cara. Tujuan peneyerdehanaan logic function adalah agar dapat mengurangi jumlah gerbang logika yang dibutuhkan dan jumlah input, pada saat proses implementasi persamaan ke rangkaian. Selain itu, dengan berkurangnya gerbang logika yang digunakan diharapkan dapat mempercepat kerja fungsi.
Beberapa caranya adalah :
1. Secara aljabar : yaitu menggunakan teorema-teorema yang ada di aljabar Boolean
2. Karnaugh map
Secara aljabar
1. Teorema-teorema Boolean Algebra
Aljabar Boolean merupakan matematika dasar digunakan untuk mentransformasi , memanipulasi, dan menyederhanakan logic function. Aljabar Boolean disusun khusus untuk logic function, sehingga ada beberapa teorama yang berbeda dari aljabar matematika pada umumnya. Oleh karena itu aljabar Boolean ini akan menjadi dasar dalam mempelajari bagaimana mendesian dan menganalisis rangkaian. Aljabar Boolean memiliki nilai Boolean 0 dan 1, dengan variable A, B, … , Z, dan memiliki operator dasar AND, OR, dan NOT.
Contoh teorema de Morgan :
F = [(A’ + B)C’+]’
= (A’ + B)’ + (C’)’
= (A’)’ (B)’ + C
= AB’ + C
F = X’YZ’ + XY’Z’ dapat menjadi F = (X+Y’+Z).(X’+Y+Z)
Aljabar Boolean memiliki beberapa teorama diantaranya
Teorema (1 variabel)
Teorema (n variabel)
2. Penyajian fungsi dalam Karnough Map
Karnough Map (Kmap) adalah diagram yang merepresentasikan table kebenaran menggunakan matriks persegi (cells), dimana setiap kotak persegi mewakili nilai minterm (maxterm) dari logic function. Kmap membantu menyederhanakan persamaan dari table kebenaran untuk rangkaian yang kompleks. Kmap memiliki beberapa kelebihan, diantaranya adalah lebih sederhana dalam proses penyederhanaannya untuk memperoleh jumlah literal yang lebih sedikit. Apabila ada fungsi n-variabel, dibutuhkan 2n baris table kebenaran, dan pada Kmap dibutuhkan 2n kotak persegi. Nilai dari table kebenaran tersebut ditulis kembali di kotak persegi pada posisi yang mewakli posisinya di table kebenaran.
Langkah-langkah menyajikan fungsi ke dalam Kmap adalah :
1. Buat diagram matriks sebanyak 2n kotak persegi, dimana n adalah jumlah variable fungsi.
2. Setiap kotak-kotak persegi tersebut diisi sesuai dengan nilai yang diberikan dari fungsi atau nilai dari table kebenaran pada letak yang tepat.
Penyajian Kmap 2-variabel.
Pada penyajian Kmap 2-variabel dibutuhkan 4 (2n) kotak persegi untuk Kmap. Cara mengisi masing-masing kotak persegi pada Kmap ditunjukkan pada gambar di bawah, Terdapat berbagai macam cara dalam menyusun matriks Kmap dan kita boleh memilih, dengan syarat tetap konsisten pada posisi dimana minterm berada.
Penyajian Kmap 3-variabel
Pada penyajian Kmap 3-variabel dibutuhkan 8 (23) kotak persegi untuk Kmap. Cara mengisi masing-masing kotak persegi pada Kmap seperti gambar berikut
Pada susunan matriks Kmap 3-varaibel ke atas, terdapat urutan matriks yang harus diperhatikan. Pada matriks Kmap, dari setelah m1 (x’y’z) urutan selanjutnya adalah m3 (x’.y.z), bukan m2 (x’yz’). Begitu pula m5 (xy’z) urutan selanjutnya adalah m7 (xyz), bukan m6 (xyz’). Hal ini terjadi, disebabkan pada aturan pengurutan Kmap, kotak yang bersebelahan haruslah hanya memiliki satu perubahan bit variable, dari 0 ke 1 atau dari 1 ke 0. Apabila urutan setelah m1 (x’y’z) adalah m2 (x’yz’), maka terdapat dua bit variable yang berubah yaitu y dan z. Bit variable y berubah dari y’ menjadi y dan bit variable z berubah dari z menjadi z’. Begitu pula yang terjadi pada m5 (xy’z), apabila urutan setelah m5 (xy’z) adalah m6 (xyz’), maka terdapat dua bit variable yang berubah yaitu y dan z. Bit variable y berubah dari y’ menjadi y dan bit variable z berubah dari z menjadi z’.
Contoh :
Cara penyajian Kmap dari table kebenaran. Bentuk penyajiannya ke dalan Kmap seperti pada gambar berikut
Cara penyajian Kmap dari fungsi minterm-nya, F(x,y,z) = Ʃm(2,3,4,5). Bentuk penyajiannya ke dalam Kmap seperti ini
Cara penyajian Kmap dari fungsi boolean-nya, F(A,B,C) = A’.C + A’.B + A.B’.C + B.C Bentuk penyajiannya ke dalam Kmap seperti ini
Penyajian Kmap 4-variabel :
Pada penyajian Kmap 4-variabel dibutuhkan 16 (24) kotak persegi untuk Kmap. Cara mengisi masing-masing kotak persegi pada Kmap ditunjukkan pada gambar ini
Penyajian Kmap 5-variabel :
Pada penyajian Kmap 5-variabel dibutuhkan 32 (25) kotak persegi untuk Kmap. Cara mengisi masing-masing kotak persegi pada Kmap ditunjukkan pada gambar ini
Cara membuat fungsi hasil Kmap, yaitu menulis fungsi-fungsi minterm (maxterm) dimana kotak pada Kmap bernilai 1 (0), kemudian menghubungkannya dengan sum atau OR.
3. Minimization Karnough Map
Pada Kmap dikenal istilah Implicant dan Prime Implicant untuk membantu dalam menemukan fungsi yang paling sederhana atau mengandung sedikit mungkin jumlah variable dan jumah literal. Implicant adalah angka 1 baik yang sendiri maupun yang telah dikelompokkan. Sedangkan, Prime Implicant adalah suatu pengelompokkan angka 1 pada kotak-kotak yang bersebelahan secara maksimal, dengan cara memaksimalkan jumlah kotak yang bersebelahan dalam satu kelmpok. Dengan kata lain kelompok yang mungkin yang dapat mengelompokkan angka 1 secara luas. Prime implicant harus dapat meng-cover semua angka 1, Jumlah kotak yang masuk dalam satu kelompok haruslah berjumlah 2n, seperti gambar berikut
Semua yang dilingkari pada gambar adalah prime implicant. Selanjutnya dikenal istilah prime implicant essential, yaitu prime implicant satu-satunya yang dapat mengelompokkan minterm (maxterm), selain itu dalam satu prime implicant hanya terdapat minimal satu minterm yang hanya dapat di-cover oleh prime implicant essential dan tidak di-cover oleh prime implicant yang lain. Penjelasan lebih lanjut tentang prime implicant essential dapat dilihat pada gambar
Pada Kmap terdapat lebih dari satu kombinasi fungsi :
1. F(A,B,C,D) = BC’ + A’B’D merupakan minimum dari Prime implicant, karena BC’ dan A’B’D merupakan prime implicant yang ESSENTIAL.
2. F(A,B,C,D) = BC’ + A’B’D + A’C’D benar tapi tidak minimum. A’C’D adalah prime implicant yang NON-ESSENTIAL karena angka 1-nya ada yang sudah di cover dengan Prime Implicant yang lain.
3. F(A,B,C,D) ≠ A’B’D + A’C’D keduanya memang Prime Implicant namun ada angka 1 yang belum tercover.
Pada gambar, A’.C’ dan ACD adalah Prime Implicant yang essential, sedangkan BCD adalah Prime Implicant yang non-essential.
Langkah-langkah untuk mendapatkan fungsi penyederhanaan dengan Kmap terdiri atas :
1. Buat matriks Kmap sesuai dengan banyaknya variable.
2. Kelompokkan beberapa kotak yang bernilai 1 jika fungsi minterm (bernilai 0 bila maxterm), dengan syarat beberapa kotak tersebut bersebelahan secara 4 arah mata angin dan depan belakang. Selain itu kotak-kotak yang dikelompokkan dalam satu kelompok harus berjumlah 2n (2,4,8,…).
3. Tentukan Prime Implicant, dengan mengelompokkan kotak seluas mungkin yang bisa dikelompokkan. Karena semakin banyak kotak yang dikelompokkan dalam satu kelompok, semakin sedikit varibel yang dihasilkan.
4. Tentukan Prime Implicant yang essential.
5. Tentukan Prime Implicant tambahan, apabila dibutuhkan untuk meng-cover minterm (maxterm) sisa yang belum ter-cover Prime Implicant yang essential.
Sumber: https://onlinelearning.uhamka.ac.id/
Komentar
Posting Komentar